Tâche 5 : MODELISATION MATHEMATIQUE DES SIGNAUX SONORES

Responsable : B. Torrésani (LATP) - Participants : LATP, LMA

Sous-tâche 5.1 : Décompositions parcimonieuses, et décompositions en couches.

Le cadre mathématique qui sous-tend les développements de ce projet est celui des représentations temps-fréquence des signaux, plus particulièrement des représentations linéaires (ondelettes, Gabor, ...), qui a récemment fait émerger l'importance de la notion de parcimonie dans de multiples applications, notamment dans le domaine du traitement des sons [Mal09]. Les approches permettant de construire des décompositions parcimonieuses de signaux sont maintenant assez bien comprises, ainsi que les algorithmes correspondants, qui allient souvent facilité de mise en oeuvre et d'intéressantes propriétés mathématiques (en particulier des preuves très générales de convergence). Il est ainsi possible de construire des algorithmes fournissant des décompositions parcimonieuses sur des systèmes de formes d'ondes générées par un algorithme mathématique (bases ou repères d'ondelettes ou de Fourier à court terme), mais aussi sur des dictionnaires beaucoup plus généraux de formes d'ondes (comme par exemple des « grains » utilisés en synthèse granulaire des sons, ou encore des formes d'onde directement « apprises » sur des banques de signaux).
La situation est par contre bien moins contrôlée lorsque l'on cherche à développer de telles approches au problème de décomposition en couches des signaux [DT02], pour lequel des systèmes « hybrides » de formes d'ondes (par exemple, ondelettes + atomes de Gabor) sont utilisés pour décomposer les signaux, pour ensuite re-synthétiser séparément les composantes correspondant à des formes d'ondes élémentaires d'un type donné. Les algorithmes mentionnés ci-dessus sont toujours opérationnels et efficaces, mais le problème d'interférences entre couches est quant à lui mal maîtrisé.
Ces décompositions en couches étant souvent pertinentes dans un contexte d'analyse et modélisation de sons, on s'attachera dans ce projet à améliorer ces approches, en particulier via le problème d'interférences. Techniquement parlant, on se focalisera sur des approches de type variationnel, dans lesquelles les interférences sont conditionnées par des paramètres de régularisation. Des approches de type « chemin de régularisation » seront développées afin de déterminer les meilleurs compromis dans le cas de paramètres multiples.
Les dictionnaires de formes d'ondes sur lesquels se focalisera le projet seront aussi bien des dictionnaire « classiques » (ondelettes, atomes de Gabor, atomes temps-fréquence plus généraux), mais également des dictionnaires plus directement liés à la nature des signaux étudiés dans les Tâches 2, 3 et 4. Suivant la nature du dictionnaire considéré, des approches algorithmiques différentes devront être développées. On attachera également une grande importance aux propriétés théoriques des algorithmes (convergence, vitesse, ...), garantes d'un bon contrôle de la solution.